素因数分解のやり方を基礎から解説！中学生でもわかる簡単な手順と練習問題

中学数学で必ず学習する素因数分解。お子さんから「素因数分解って何？」「やり方がわからない」と質問されて困った経験はありませんか。

素因数分解は数学の基礎となる重要な単元で、高校数学や日常生活でも活用される実用的なスキルです。しかし、多くの中学生がつまずきやすい分野でもあります。

この記事では、素因数分解の基本概念から具体的なやり方まで、親子で一緒に学べるよう丁寧に解説します。豊富な例題と練習問題を通して、お子さんが自信を持って素因数分解に取り組めるようサポートいたします。

素因数分解とは何か？基本概念をやさしく理解しよう

素因数分解を学ぶ前に、まず「素数」と「因数」の概念をしっかりと理解することが重要です。これらの基礎知識があることで、素因数分解のやり方がスムーズに身につきます。お子さんと一緒に基本から確認していきましょう。

素数の定義と見つけ方

素数とは、1とその数自身以外に約数を持たない自然数のことです。つまり、2つの約数しか持たない特別な数を指します。

最初から覚えておきたい素数は以下の通りです。

範囲	素数
1～10	2, 3, 5, 7
11～20	11, 13, 17, 19
21～30	23, 29

素数を見つけるコツは、偶数は2以外すべて合成数であることを覚えておくことです。また、各桁の数を足した合計が3の倍数になる数は、3で割り切れるため素数ではありません。例えば、15は1+5=6で3の倍数なので、3で割り切れる合成数です。

お子さんには「2は唯一の偶数の素数」「3以上の素数はすべて奇数」という特徴を教えてあげると、素数の判別がしやすくなります。

因数と約数の関係性

因数とは、ある数を割り切ることができる数のことで、約数と同じ意味で使われます。例えば、12の因数（約数）は1, 2, 3, 4, 6, 12の6個です。

因数を見つける効率的な方法は以下の手順です。

1から順番に割り算を試す
割り切れる数をすべて記録する
平方根まで調べれば十分（重複を避けるため）

12の因数を実際に見つけてみましょう。12÷1=12（1と12）、12÷2=6（2と6）、12÷3=4（3と4）となり、すべての因数が見つかります。

この基礎知識があることで、お子さんは素因数分解が「素数だけを使った因数分解」であることを理解しやすくなります。

素因数分解の意味と重要性

素因数分解とは、1より大きい自然数を素数の積として表現することです。すべての合成数は、ただ一通りの方法で素数の積に分解できます（素因数分解の一意性）。

例えば、24を素因数分解すると「24 = 2³ × 3」となります。これは24が2を3個、3を1個かけ合わせた数であることを意味します。

素因数分解が重要な理由は以下の通りです。

最大公約数・最小公倍数の計算が簡単になる
約数の個数を効率的に求められる
高校数学の数列・確率で頻繁に使用される
暗号理論など実社会でも活用されている

お子さんには「数の設計図を作る作業」として素因数分解を説明すると、イメージしやすくなります。まるでレゴブロックを基本パーツに分解するように、数も基本となる素数に分解できることを伝えてあげましょう。

基本的な素因数分解のやり方をステップバイステップで解説

素因数分解には複数のやり方がありますが、最も確実で理解しやすい「割り算による方法」を中心に解説します。この方法をマスターすれば、どんな数でも確実に素因数分解できるようになります。お子さんと一緒に練習して、コツを掴んでいきましょう。

割り算を使った素因数分解の手順

割り算による素因数分解は、小さな素数から順番に割っていく最もスタンダードな方法です。間違いが少なく、確実に答えにたどり着けるため、初学者におすすめです。

基本的な手順は以下の通りです。

2で割れるかチェック（偶数なら必ず割れる）
3で割れるかチェック（各桁の和が3の倍数なら割れる）
5で割れるかチェック（末尾が0または5なら割れる）
7, 11, 13…の順で割れるかチェック
割り切れなくなるまで繰り返す

実際に60を素因数分解してみましょう。

60 ÷ 2 = 30
30 ÷ 2 = 15
15 ÷ 3 = 5
5 ÷ 5 = 1

したがって、60 = 2² × 3 × 5となります。

この方法のメリットは、機械的に作業できるため計算ミスが少ないことです。また、どの素数で割ったかを記録しながら進めるため、途中で迷うことがありません。お子さんには「素数の小さい順に試していけば必ず答えが出る」ことを伝えて、安心感を与えてあげましょう。

因数分解樹を使った視覚的な方法

因数分解樹は、数を枝分かれするように分解していく視覚的な方法です。お子さんが数の構造を理解しやすく、楽しみながら学習できる特徴があります。

因数分解樹の作り方は以下の通りです。

分解したい数を頂点に書く
その数を2つの因数の積で表現する
合成数があればさらに分解を続ける
すべてが素数になるまで繰り返す

例えば、36の因数分解樹を作ってみましょう。

この樹から、36 = 2² × 3²であることがわかります。

因数分解樹の良い点は、お子さんが数の分解過程を視覚的に確認できることです。また、同じ数でも複数の分解パターンがあることを理解でき、「最終的な素因数分解の結果は必ず同じになる」という数学の美しさを体感できます。

親御さんがお子さんと一緒に樹を描きながら「次はどの数で分けられそう？」と対話形式で進めると、より効果的な学習になります。

素因数分解の一意性の理解

素因数分解の一意性とは、1より大きい自然数の素因数分解の結果は、素因数の順序を除いて唯一つに決まるという重要な性質です。この性質により、素因数分解は数学的に信頼できる操作となっています。

例えば、12を因数分解樹で表現すると、以下のような複数の分解パターンがあります。

12 = 3 × 4 = 3 × 2²
12 = 2 × 6 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3
12 = 12 × 1（これは素因数分解ではない）

どのような分解手順を踏んでも、最終的には12 = 2² × 3という同じ結果になります。

この一意性があることで、以下のようなメリットが生まれます。

計算結果の正確性が保証される
異なる方法で解いても答えが一致する安心感
数学的な証明や応用で確実な根拠となる

お子さんには「道は違っても目的地は同じ」という例えで説明すると理解しやすくなります。素因数分解のやり方はいくつかありますが、正しく計算すれば必ず同じ答えにたどり着くことを伝えて、自信を持って取り組めるよう励ましてあげましょう。

効率的な計算のコツとポイント

素因数分解を速く正確に行うためには、いくつかのコツとポイントがあります。これらを覚えることで、お子さんの計算スピードと正確性が大幅に向上します。

計算を早くするコツは以下の通りです。

小さな素数から順番に試す（2, 3, 5, 7, 11…）
割り切れる判定法を活用する（偶数は2、各桁の和が3の倍数なら3）
平方根以下の素数までチェックすれば十分
同じ素数で何回割れるかを意識する

例えば、72を素因数分解する場合、72は偶数なので2で割り続けます。72→36→18→9で、2³が出てきます。残った9は3²なので、72 = 2³ × 3²となります。

正確性を保つコツは以下の通りです。

割り算の検算を必ず行う
最後に元の数に戻るかチェックする
素数の順序を揃えて書く（小さい順）
同じ素数は指数で表現する

計算過程を丁寧に書く習慣をつけることで、途中でミスがあっても見つけやすくなります。お子さんには「急がば回れ」の精神で、確実な計算を心がけるよう指導してあげましょう。

実践練習用の例題と詳しい解法手順

理論を学んだら、実際に手を動かして練習することが重要です。ここでは、難易度別の例題を用意し、詳しい解法手順を示します。お子さんのレベルに合わせて段階的に挑戦し、着実にスキルアップを図りましょう。

初級レベル：2桁の数の素因数分解

まずは2桁の比較的小さな数から練習を始めましょう。これらの問題は基本的な素数（2, 3, 5, 7, 11, 13）だけで解けるため、素因数分解の基礎を固めるのに最適です。

例題1：24の素因数分解

手順を詳しく見ていきましょう。

24 ÷ 2 = 12 （24は偶数なので2で割れる）
12 ÷ 2 = 6  （12も偶数なので2で割れる）
6 ÷ 2 = 3   （6も偶数なので2で割れる）
3 ÷ 3 = 1   （3は素数なので3で割り切り）

したがって、24 = 2³ × 3です。

例題2：45の素因数分解

45は奇数なので2では割れません。各桁の和が4+5=9で3の倍数なので、3から試します。

45 ÷ 3 = 15 （各桁の和が9なので3で割れる）
15 ÷ 3 = 5  （1+5=6で3の倍数なので3で割れる）
5 ÷ 5 = 1   （5は素数なので5で割り切り）

したがって、45 = 3² × 5です。

例題3：91の素因数分解

91は少し難しい例です。2、3、5では割り切れないので、7から試します。

91 ÷ 7 = 13 （91 = 7 × 13を暗算または筆算で確認）
13 ÷ 13 = 1 （13は素数）

したがって、91 = 7 × 13です。

これらの練習を通して、お子さんは素数の判別方法と基本的な割り算のスキルを身につけることができます。

中級レベル：3桁の数の素因数分解

3桁の数になると、より大きな素数や計算量が増えるため、効率的な手順と正確な計算がより重要になります。ここでは戦略的なアプローチ方法を学びましょう。

例題4：126の素因数分解

126は偶数なので2から始めます。

126 ÷ 2 = 63 （偶数なので2で割れる）
63 ÷ 3 = 21  （6+3=9で3の倍数）
21 ÷ 3 = 7   （2+1=3で3の倍数）
7 ÷ 7 = 1    （7は素数）

したがって、126 = 2 × 3² × 7です。

例題5：165の素因数分解

165は奇数で、末尾が5なので5で割り切れます。

165 ÷ 5 = 33 （末尾が5なので5で割れる）
33 ÷ 3 = 11  （3+3=6で3の倍数）
11 ÷ 11 = 1  （11は素数）

したがって、165 = 3 × 5 × 11です。

例題6：231の素因数分解

231は少し複雑です。各桁の和が2+3+1=6で3の倍数なので3から試します。

231 ÷ 3 = 77 （各桁の和が6なので3で割れる）
77 ÷ 7 = 11  （77 = 7 × 11）
11 ÷ 11 = 1  （11は素数）

したがって、231 = 3 × 7 × 11です。

3桁の数では、平方根付近までの素数をチェックすることが効率的です。例えば、200以下の数なら√200 ≈ 14なので、14以下の素数（2, 3, 5, 7, 11, 13）をチェックすれば十分です。

上級レベル：大きな数と複雑な素因数分解

より大きな数や特殊な形の数の素因数分解では、パターン認識や効率的な計算テクニックが重要になります。高校入試レベルの問題にも対応できる実力を身につけましょう。

例題7：400の素因数分解

400のような大きな数は、まず小さな因数に分解してから素因数分解すると効率的です。

400 = 4 × 100 = 4 × 10² = 2² × (2 × 5)² = 2² × 2² × 5² = 2⁴ × 5²

または、直接割り算で進める場合：

400 ÷ 2 = 200
200 ÷ 2 = 100
100 ÷ 2 = 50
50 ÷ 2 = 25
25 ÷ 5 = 5
5 ÷ 5 = 1

したがって、400 = 2⁴ × 5²です。

例題8：504の素因数分解

504のような数は、段階的に分解していきます。

504 ÷ 2 = 252
252 ÷ 2 = 126
126 ÷ 2 = 63
63 ÷ 3 = 21
21 ÷ 3 = 7
7 ÷ 7 = 1

したがって、504 = 2³ × 3² × 7です。

例題9：1001の素因数分解

1001は一見大きく見えますが、実は比較的小さな素数の積です。

1001 ÷ 7 = 143、143 ÷ 11 = 13なので、1001 = 7 × 11 × 13です。

上級レベルでは、数の性質を見抜く能力が重要になります。例えば、末尾の数字、各桁の和、特殊な形（平方数、立方数など）を意識することで、効率的に解けるようになります。

間違いやすいポイントと注意事項

素因数分解でお子さんがよく間違えるポイントを理解し、事前に対策することで、正答率を大幅に向上させることができます。

よくある間違いとその対策は以下の通りです。

1を因数に含めてしまう

間違い例：12 = 1 × 2² × 3
正解：12 = 2² × 3
対策：1は素数ではないことを強調

合成数を素数と間違える

間違い例：9 = 9（9を素数と思ってしまう）
正解：9 = 3²
対策：基本的な素数を暗記する

計算ミスによる誤答

間違い例：計算途中で割り算を間違える
対策：各段階で検算を行う習慣をつける

指数の表記ミス

間違い例：8 = 2 × 2 × 2と書いて2³にしない
正解：8 = 2³
対策：同じ素数は指数でまとめる

検算の方法も重要です。素因数分解の結果を実際にかけ算して、元の数に戻るかチェックする習慣をつけましょう。例えば、60 = 2² × 3 × 5なら、2² × 3 × 5 = 4 × 3 × 5 = 60となることを確認します。

お子さんには「間違いは学習のチャンス」として捉え、なぜ間違えたかを一緒に分析してあげることが大切です。

素因数分解の応用と活用場面

素因数分解は単なる計算技術ではなく、数学の様々な分野で活用される重要な基礎スキルです。お子さんがこの技術をどのような場面で使うのかを理解することで、学習のモチベーション向上につながります。実際の応用例を見てみましょう。

最大公約数・最小公倍数の効率的な求め方

最大公約数（GCD）と最小公倍数（LCM）の計算は、素因数分解を使うことで飛躍的に簡単になります。従来の方法と比べて、大きな数でも確実に答えを求めることができます。

最大公約数の求め方

2つの数の素因数分解を行い、共通する素因数の最小の指数を取ります。

例：48と72の最大公約数

48 = 2⁴ × 3¹
72 = 2³ × 3²

共通する素因数は2と3です。

2の指数：min(4, 3) = 3
3の指数：min(1, 2) = 1

したがって、最大公約数 = 2³ × 3¹ = 24です。

最小公倍数の求め方

共通する素因数の最大の指数を取ります。

同じ例で最小公倍数を求めると：

2の指数：max(4, 3) = 4
3の指数：max(1, 2) = 2

したがって、最小公倍数 = 2⁴ × 3² = 144です。

この方法のメリットは、どんなに大きな数でも確実に計算できることです。お子さんには「素因数分解さえできれば、最大公約数と最小公倍数は機械的に求められる」ことを伝えて、自信を持たせてあげましょう。

約数の個数と総和の計算

素因数分解を使うと、約数の個数や約数の総和を効率的に計算できます。これは高校数学でも頻繁に使われる重要なテクニックです。

約数の個数の公式

n = p₁^a₁ × p₂^a₂ × … × pₖ^aₖと素因数分解できるとき、約数の個数は(a₁ + 1)(a₂ + 1)…(aₖ + 1)です。

例：60 = 2² × 3¹ × 5¹の約数の個数

約数の個数 = (2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 3 × 2 × 2 = 12個

実際に確かめると、60の約数は1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60の12個です。

約数の総和の公式

約数の総和は以下の公式で求められます：
(1 + p₁ + p₁² + … + p₁^a₁) × (1 + p₂ + … + p₂^a₂) × …

例：12 = 2² × 3¹の約数の総和

約数の総和 = (1 + 2 + 2²) × (1 + 3) = (1 + 2 + 4) × 4 = 7 × 4 = 28

これらの公式を使うことで、大きな数の約数を全て書き出すことなく、効率的に計算できます。

分数の約分と通分での活用

分数の計算において、素因数分解は約分と通分を効率化する強力なツールです。特に複雑な分数や大きな数を含む分数で威力を発揮します。

約分での活用例

分数 84/126 を約分する場合：

84 = 2² × 3 × 7
126 = 2 × 3² × 7

最大公約数 = 2¹ × 3¹ × 7¹ = 42

したがって、84/126 = (84÷42)/(126÷42) = 2/3

通分での活用例

1/12 + 1/18 を計算する場合：

12 = 2² × 3
18 = 2 × 3²

最小公倍数 = 2² × 3² = 36

1/12 + 1/18 = 3/36 + 2/36 = 5/36

素因数分解を使った分数計算のメリットは以下の通りです：

大きな数でも確実に最大公約数・最小公倍数が求められる
計算ミスが減る（機械的に処理できるため）
時間短縮につながる

お子さんには「素因数分解は分数計算の強い味方」として教え、積極的に活用するよう勧めてあげましょう。

高校数学での発展的な使い方

素因数分解は高校数学の様々な分野で基礎となる重要な概念です。中学で身につけた技術が、より高度な数学でどのように活用されるかを知ることで、学習への動機づけになります。

数列での活用

等比数列の和の公式や、複雑な数列の一般項を求める際に素因数分解が使われます。

例：Σ(k=1 to n) k²の公式導出では、n(n+1)(2n+1)/6の形で現れ、素因数分解の知識が不可欠です。

確率・組み合わせでの活用

組み合わせの計算 nCr = n!/(r!(n-r)!) において、階乗の素因数分解により効率的に計算できます。

例：¹⁰C₃ = 10!/(3!×7!) の計算では、素因数分解により約分を行います。

整数問題での活用

大学入試でよく出題される整数問題では、素因数分解が解法の鍵となることが多々あります。

例：「x² – y² = 91を満たす正の整数x, yを求める」問題では、91 = 7 × 13の素因数分解が重要な手がかりとなります。

暗号理論への応用

現代社会で広く使われているRSA暗号は、大きな数の素因数分解の困難さを利用しています。インターネットでの安全な通信や電子決済システムの基盤となっている技術です。

例えば、2つの大きな素数p, qの積n = p × qは簡単に計算できますが、nからpとqを見つける（素因数分解する）ことは非常に困難です。この性質が暗号の安全性を支えています。

お子さんには「中学で学ぶ素因数分解が、将来のIT社会を支える重要な技術の基礎になっている」ことを伝えることで、数学学習の意義を感じてもらえるでしょう。

つまずきやすいポイントと効果的な学習法

素因数分解は多くの中学生がつまずく単元の一つです。しかし、典型的なつまずきパターンを理解し、適切な学習法を実践することで、確実にマスターできます。お子さんの理解度に合わせたサポート方法を見ていきましょう。

素数の暗記が不十分な場合の対策

素数を覚えていないことが、素因数分解でつまずく最も大きな原因です。素数の知識が曖昧だと、どの数で割ったらよいかわからず、計算が進まなくなってしまいます。

効果的な素数暗記法は以下の通りです。

暗記範囲	覚え方のコツ	チェック方法
1～20の素数	2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19をリズムで覚える	10秒以内にすべて言えるかテスト
21～50の素数	23, 29, 31, 37, 41, 43, 47を語呂合わせで覚える	ランダムな数が素数か即答できるかテスト

語呂合わせの例：

23：「兄さん（2, 3）」
29：「肉（29）」
31：「サイ（31）」

また、素数の見分け方も重要です。

偶数は2以外すべて合成数
各桁の和が3の倍数なら3で割り切れる
末尾が0または5なら5で割り切れる
一の位が1, 3, 7, 9以外は素数ではない（2桁以上の場合）

お子さんには毎日5分程度の素数暗記タイムを設けて、ゲーム感覚で取り組ませてあげましょう。

計算ミスを減らすコツ

素因数分解では多段階の割り算が必要なため、計算ミスが起こりやすくなります。ミスを減らすための具体的な対策を実践しましょう。

計算ミス防止のポイント：

途中式を丁寧に書く

暗算に頼らず、必ず筆算で確認
割り算の商と余りを明確に記録
各段階で検算を実施

縦式で整理する

   72 ÷ 2 = 36
   36 ÷ 2 = 18
   18 ÷ 2 = 9
   9 ÷ 3 = 3
   3 ÷ 3 = 1

最終確認を必ず行う

素因数分解の結果をかけ算して元の数に戻るかチェック
例：72 = 2³ × 3² = 8 × 9 = 72 ✓

時間をかけても正確性を優先

急いで解くよりも、確実な計算を心がける
「速く解く」は後から身につけばよい

よくある計算ミスの例と対策：

割り算の商を間違える：筆算で確認する
同じ素数で何回割ったか忘れる：正の字でカウントする
指数の計算を間違える：同じ素数の個数を数え直す

お子さんには「計算ミスは誰にでもあること」を伝え、ミスを見つけて修正できる力を育ててあげることが重要です。

親子で取り組める練習方法

素因数分解の習得には継続的な練習が不可欠ですが、お子さん一人では飽きてしまいがちです。親子で楽しく取り組める方法を工夫しましょう。

ゲーム感覚の練習法：

素因数分解競争

同じ数を親子で別々に素因数分解
速さと正確性を競う
間違いがあったら説明し合う

素数探しゲーム

1～100の中からランダムに数を選ぶ
その数が素数か合成数かを当てる
合成数なら素因数分解してもらう

因数分解樹コンテスト

同じ数の因数分解樹を描く
より美しく、わかりやすい樹を作る
創意工夫を評価してあげる

段階的な難易度設定：

レベル1：20以下の数（2桁の小さな数）
レベル2：50以下の数（2桁の中程度の数）
レベル3：100以下の数（2～3桁の数）
レベル4：200以下の数（3桁の数）

記録をつける方法：

お子さんの成長を見える化するために、学習記録表を作成しましょう。

解けた問題数と正答率
かかった時間の推移
間違えた問題の傾向分析
成長した点の記録

親御さんは褒めることを重視し、間違いを責めるのではなく「なぜ間違えたか」を一緒に考える姿勢を大切にしてください。

学習のモチベーション維持方法

素因数分解の学習は地道な練習が必要なため、お子さんのモチベーション維持が重要な課題となります。効果的な動機づけ方法を実践しましょう。

短期目標の設定：

1週間で20問正解を目指す
計算時間を30秒短縮する
3桁の数を5問連続正解する

これらの具体的で達成可能な目標を設定することで、お子さんは成功体験を積み重ねることができます。

達成感を味わえる工夫：

スタンプカード方式

正解するたびにスタンプを押す
10個集まったらご褒美

レベルアップ制

初級→中級→上級→マスターのように段階を設定
レベルアップ時に認定証を授与

記録更新の可視化

グラフで成長を表示
過去の自分との比較を重視

実用性の意識づけ：

お子さんに「なぜ素因数分解を学ぶのか」を具体的に説明してあげましょう。

分数の計算が楽になる
最大公約数・最小公倍数が簡単に求められる
高校数学の基礎になる
論理的思考力が身につく

さらに、日常生活での活用例を示すことで、学習の意味を実感させてあげることができます。例えば、お菓子を等分に分ける際の計算や、時間割の組み合わせ問題などで素因数分解の考え方が役立つことを教えてあげましょう。

まとめ：素因数分解をマスターして数学力アップ

素因数分解は中学数学の重要な基礎であり、確実にマスターすべきスキルです。この記事で解説したやり方と練習法を実践することで、お子さんは必ず素因数分解を得意分野にできるでしょう。

素因数分解マスターのための重要ポイントをもう一度確認しましょう：

基礎固めの要素：

素数の暗記（最低20までは完璧に）
割り算の正確性（筆算での確認習慣）
因数分解樹による視覚的理解

実践力向上の要素：

段階的な練習（2桁→3桁→より大きな数）
計算スピードと正確性のバランス
応用問題への挑戦

学習継続の要素：

親子での楽しい練習
明確な目標設定と達成感
実用性の理解

素因数分解ができるようになると、数学全体への自信につながります。分数計算、最大公約数・最小公倍数、さらには高校数学の基礎まで、幅広い分野で活用できる万能ツールです。

お子さんが「素因数分解って面白い！」「数学が得意になった！」と感じられるよう、親御さんも一緒に学習を楽しんでください。継続的な練習と適切なサポートがあれば、必ず素因数分解をマスターできます。

数学は積み重ねの学問です。素因数分解という重要な基礎をしっかりと身につけることで、お子さんの数学力は確実に向上し、将来の学習にも大きな自信となるでしょう。